Tuntemus

Kuinka tekijä toisen asteen polynomista (toisen asteen yhtälö)

Posted on
Kirjoittaja: Monica Porter
Luomispäivä: 17 Maaliskuu 2021
Päivityspäivä: 27 Kesäkuu 2024
Anonim
Kuinka tekijä toisen asteen polynomista (toisen asteen yhtälö) - Tuntemus
Kuinka tekijä toisen asteen polynomista (toisen asteen yhtälö) - Tuntemus

Sisältö

Tässä artikkelissa: Jatka kokeilu- ja virhetoimenpiteitäJatka hajottamalla "Kolminkertainen peli" Kahden neliön erotusKäytä neliömäistä kaavaaLaskurin käyttäminen

Polynomi koostuu muuttujasta (x), joka on nostettu tiettyyn voimaan, jota kutsutaan polynomin asteeksi, ja useista muista alemman asteen termistä ja / tai useista muista vakioista. Toisen asteen polynomin faktorisointi (jota kutsutaan myös "neliömäiseksi yhtälöksi") tarkoittaa alkuperäisen lausekkeen pelkistämistä pienempien asteiden lausekkeiden tuotteeksi, joka voidaan sitten kertoa toisillaan. Tämä tieto on osa lukion kurssia ja enemmän, joten tätä artikkelia voi olla vaikea ymmärtää, jos sinulla ei vielä ole vaadittua matematiikan tasoa.


vaiheet

Aluksi



  1. Kirjoita lauseke. Toisen asteen yhtälön vakiomuoto on:

    ax + bx + c = 0
    Aloita järjestämällä yhtälösi ehdot voimien järjestyksen mukaan, suurimmasta pienimmäksi, kuten vakiomuodossa. Otetaan esimerkiksi:

    6 + 6x + 13x = 0
    Järjestämme tämän ilmaisun työn helpottamiseksi siirtämällä termejä yksinkertaisesti:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Löydä laskennallinen muoto jollain alla selitetyistä menetelmistä. Faktorisointi antaa kaksi lyhyempää lauseketta, jotka antavat alkuperäisen polynomin, jos me kerrotaan ne toisillaan:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    Tässä esimerkissä (2x +3) ja (3x + 2) ovat tekijät alkuperäisestä lausekkeesta, 6x + 13x + 6.




  3. Tarkista työsi! Kerro tunnistetut tekijät. Yhdistä sitten samanlaiset termit ja saat valmis. Aloita:

    (2x + 3) (3x + 2)
    Aloitetaan tämän lausekkeen testaaminen kertomalla kahden lausekkeen ehdot saadaksesi:

    6x + 4x + 9x + 6
    Sieltä voimme lisätä 4x ja 9x, koska ne ovat saman asteen termejä. Tiedämme silloin, että tekijämme ovat oikeat, koska meillä on hyvä lähtökohta:

    6x + 13x + 6.

Tapa 1 Jatka kokeilu ja virhe

Jos kyseessä on melko yksinkertainen polynomi, sinun pitäisi pystyä löytämään sen hajoaminen tekijätuotteena yhdellä silmäyksellä. Esimerkiksi monet matemaatikot pystyvät näkemään tämän ilmaisun 4x + 4x + 1 antaa tekijät (2x + 1) ja (2x + 1) tavan mukaan ja kokemuksella (tämä ei tietenkään ole niin yksinkertaista monimutkaisten polynomien tapauksessa). Otetaan tässä esimerkissä vähemmän yleinen lauseke:


3x + 2x - 8

.



  1. Tee luettelo kertoimista on ja C. Käyttämällä lomakkeen lauseketta ax + bx + c = 0, tunnistaa kertoimet on ja C ja luetella vastaavat tekijät. 3x + 2x - 8, tämä antaa:

    a = 3 ja sillä on vain yksi tekijäpari: 1 * 3
    c = -8 ja neljä tekijäparia: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja -1 * 8 ..



  2. Kirjoita paperille kaksi paria sulkuja, joissa on tilaa kirjoittaa niiden sisälle. Syötä vakiot jokaiselle lausekkeelle annetulle alueelle:

    (x) (x).



  3. Kirjoita ennen x: a kerroin mahdollisista tekijöistä on. Kerroin on esimerkissämme 3x on vain yksi mahdollisuus:

    (3x) (1x).



  4. Täytä sitten kaksi jäljellä olevaa tyhjää tilaa kertoimella C. Otetaan esimerkiksi 8 ja 1. Kirjoita ne muistiin:

    (3x8) (X1).



  5. Päätä nyt merkki (lisää tai vähemmän) sijoittaaksesi x: n ja hänen jälkeensä sijoittamasi numeron väliin. Alkuperäisen lausekkeen merkin mukaan on mahdollista löytää, minkä pitäisi olla vakioiden merkit. puhelu h ja K tekijöidemme vakiot:

    Jos ax + bx + c sitten (x + h) (x + k)
    Jos ax - bx - c tai ax + bx - c, niin (x - h) (x + k)
    Jos ax - bx + c sitten (x - h) (x - k)
    Esimerkissämme 3x + 2x - 8 merkit on sijoitettava seuraavalla tavalla: (x - h) (x + k), mikä antaa meille seuraavat kaksi tekijää:

    (3x + 8) ja (x - 1).



  6. Tarkista muodoltasi muokkaamalla sitä. Ensimmäinen pikatesti on tarkistaa, onko keskitermällä oikea arvo. Jos x ei ole hyvä, olet voinut valita väärän tekijäparin kertoimeen C. Tarkistetaan tulokset:

    (3x + 8) (x - 1)
    Kertomalla saadaan:

    3x - 3x + 8x - 8
    Lisäämällä samanlaiset termit (-3x) ja (8x) tämän lausekkeen yksinkertaistamiseksi saadaan:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Tiedämme nyt, että olemme todennäköisesti löytäneet väärät tekijät:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. Vaihda tarvittaessa tekijöitäsi. Kokeilemme esimerkissämme 2 ja 4 1 ja 8 sijasta:

    (3x + 2) (x - 4)
    Nyt kertoimemme C on -8, mutta kertoimet (3x * -4) ja (2 * x) antavat -12x ja 2x, jotka lisäksi eivät aina anna alkuarvoa b, eli +2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x - 2x.



  8. Käännä järjestys tarvittaessa. Käännämme esimerkissämme kohtien 2 ja 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Nyt kerroin C on aina hyvä, mutta lauseiden kertoimet x: ssä ovat tällä kertaa arvoinen -6x ja 4x. Lisättyään se antaa:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x Olemme hyvin lähellä 2x: n alkuperäistä arvoa, jonka etsimme, mutta merkki ei ole hyvä.



  9. Tarkista merkit uudelleen tarvittaessa. Pidämme nyt saman järjestyksen, mutta vaihdamme merkkejä:

    (3x - 4) (x + 2)
    Kerroin ennen C on aina hyvä, ja x: n termit ovat nyt arvoisia (6x) ja (-4x). koska:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x Joten saamme 2x, jotka meillä alun perin oli. Joten löysimme todennäköisesti oikeat tekijät.

Menetelmä 2 Jatka hajottamalla

Tämän menetelmän avulla voimme tunnistaa kaikki mahdolliset tekijät kertoimien saamiseksi on ja C ja tunnistaa ne, mitkä tekijät ovat oikeat. Jos numerot ovat erittäin suuret tai muut kokeilu- ja virhemenetelmät vaikuttavat liian pitkiltä, ​​voit käyttää tätä menetelmää. Ota seuraava esimerkki:

6x + 13x + 6

.



  1. Kerro kerroin on kertoimella C. Esimerkissämme on on yhtä suuri kuin 6 ja C on myös yhtä suuri kuin 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Etsi kerroin b tekemällä tekijä ja testaamalla sitten saadut tekijät. Etsimme kahta numeroa, jotka ovat tuotteen tekijöitä on * C jonka olemme tunnistaneet ja jonka summa on kerroimen "b" arvoinen (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Esitä kaksi yhtälöön juuri saanut numeroa; aseta ne x: n eteen, niin että niiden summa on yhtä suuri kuin kerroin b. Otetaanpa kirjeet K ja h edustamaan kahta saatua lukua, 4 ja 9:

    ax + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. Kerro polynomisi ryhmittelemällä. Järjestä yhtälö niin, että saadaan kahden ensimmäisen termin suurin yhteinen tekijä ja kahden viimeisen lauseen suurin yhteinen tekijä. Sinun pitäisi sitten saada summa kahdesta identtisestä laskennallisesta muodosta. Laske yhteen kaksi kerrointa ja laita ne sulkeisiin lasketun muodon eteen; saat sitten kaksi tekijääsi:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

Menetelmä 3 "kolminkertainen peli"

Tämä menetelmä on hyvin samanlainen kuin edellinen. Tämä koostuu kertoimien tuotteiden mahdollisten tekijöiden tutkimisesta on ja C, käytä sitten niitä arvon löytämiseksi b. Otetaan esimerkiksi seuraava yhtälö:

8x + 10x + 2



  1. Kerro kerroin on kertoimella C. Kuten hajotusmenetelmässä, tämä auttaa meitä tunnistamaan kertoimen mahdolliset ehdokkaat b. Esimerkissämme on on yhtä kuin 8 ja C on arvoinen 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Etsi kaksi numeroa, joiden tuote on juuri aiemmin löydetty luku (16) ja joiden summa antaa kerroimen "b". Tämä vaihe on identtinen hajotusmenetelmän kanssa - ts. Testaamme ja hylkäämme vakioiden ehdokkaat. Kertoimien tuote on ja C on yhtä suuri kuin 16 ja kerroin C on yhtä kuin 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Ota nämä kaksi numeroa ja korvaa ne "triple play" -kaavassa. Ota kaksi numeroa edellisestä vaiheesta - soitetaan heille h ja K - ja esitellä ne seuraavassa lausekkeessa:

    ((kirves + h) (kirves + k)) / a

    Sitten saamme:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Löydä, mikä laskurin sululauseista on jaettavissa kertoimella on. Tässä esimerkissä testataan, voidaanko (8x + 8) tai (8x + 2) jakaa 8: lla. (8x + 8) on jaollinen 8: lla, sitten jaamme tämän lausekkeen on ja jätä toinen lauseke sellaiseksi kuin se on.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Ilmaisu, jota pidämme täällä, on se, joka jää kertoimella jakamisen jälkeen on : (x + 1).



  5. Etsi - jos on - suurempi yhteinen tekijä molemmista sulkeista. Esimerkissämme toisella lausekkeella on suurempi yhteinen tekijä 2, koska 8x + 2 = 2 (4x + 1). Yhdistä tämä vastaus edellisessä vaiheessa löytämään lausekkeeseen. Olet siis löytänyt polynomisi kaksi tekijää.

    2 (x + 1) (4x + 1).

Menetelmä 4 Kahden neliön erotus

Jotkut polynomien kertoimet voidaan tunnistaa "neliöiksi", toisin sanoen kahden luvun kertolaskun tulokseksi. Tunnistamalla nämä neliöt, voit tekijää joitain polynomeja paljon nopeammin. Otetaan esimerkiksi yhtälö:

27x - 12 = 0



  1. Aloita tekemällä kaikesta suurempi yhteinen tekijä, jos se on mahdollista. Esimerkissämme näemme 27 ja 12, jotka molemmat ovat jaettavissa kolmella, joten voimme "purskaista" alkuperäisen lausekkeen seuraavasti:

    27 x 12 = 3 (9 x 4).



  2. Tunnista, ovatko yhtälösi kertoimet neliömäisiä. Tämän menetelmän käyttämiseksi sinun pitäisi pystyä löytämään kertoimille neliöjuuret (huomaa, että emme ota huomioon negatiivisia merkkejä - kun kyse on neliöistä, ne voivat olla kahden positiivisen luvun tai negatiivinen)

    9x = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2.



  3. Kirjoita löytämäsi neliöjuurit käyttämällä tekijöitä. Otetaan arvot on ja C aiemmin löydetty - on = 9 ja C = 4 - ennen niiden neliöjuuren löytämistä - √on = 3 ja √C = 2. Nämä ovat kertoimet lausekkeillemme:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Menetelmä 5 neliömäisen kaavan avulla

Jos kaikki yllä olevat menetelmät ovat epäonnistuneet ja et pysty löytämään yhtälöllesi oikeita tekijöitä, käytä kvadraattista kaavaa. Ota seuraava esimerkki:

x + 4x + 1 = 0



  1. Otetaan kertoimien "a", "b" ja "c" arvot ja korvataan ne seuraavalla neliökaavalla:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2a
    Sitten saamme lausekkeen:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Ratkaise yhtälö löytääksesi x. Kuten yllä näet, sinun pitäisi saada kaksi x-arvoa:


    x = -2 + √ (3) tai x = -2 - √ (3).



  3. Käytä x: n arvoa kertoimien löytämiseen. Syötä aikaisemmin saadut x-arvot kahden polynomin lausekkeen vakioina. Nämä ovat tekijöitäsi. puhelu h ja K x-arvot ja kirjoita kaksi laskennallista muotoa:

    (x - h) (x - k)
    Tässä tapauksessa lopputulos on:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

Tapa 6 Laskimen käyttäminen

Jos sinulla on lupa käyttää graafista laskinta, huomaa, että tämä helpottaa tehtävääsi huomattavasti, etenkin tenttien aikana. Nämä ohjeet koskevat vain Texas Instrument -brändin graafisia laskimia. Otetaan esimerkiksi seuraava yhtälö:

y = x - x - 2



  1. Kirjoita yhtälösi laskimeen. Sinun on käytettävä "resolver yhtälöä", eli näyttöä.



  2. Tee graafinen esitys yhtälöstä laskimessa. Kun olet syöttänyt yhtälön, paina - niin sinun pitäisi nähdä käyrän graafinen esitys (tarkemmin sanottuna saat "kaaren", koska työskentelet polynomien kanssa).



  3. Etsi kaaren ja x-akselin (x) leikkauspisteet. Koska polynomiyhtälöt kirjoitetaan perinteisesti muodossa: ax + bx + c = 0, nämä ovat x: n kaksi arvoa, joiden lauseke on nolla:

    (-1, 0), (2 , 0)
    x = -1, x = 2.
    • Jos et pysty lukemaan arvoja siitä, missä käyräsi ylittää x-akselin, paina sitten. Paina tai valitse "nolla". Siirrä kohdistin vasemmalle yhdestä risteyksestä ja paina. Siirrä sitten kohdistin risteyksestä oikealle ja paina uudelleen. Siirrä seuraavaksi kohdistin mahdollisimman lähelle risteystä ja paina uudelleen. Laskin löytää arvon x. Tee sama seuraavaksi toiselle risteykselle.



  4. Lisää lopuksi edellisessä vaiheessa saadut x-arvot kaksikerroiseen lausekkeeseen. Jos soitamme h ja K kaksi x -arvoamme, käytämme sitten seuraavaa lauseketta:

    (x - h) (x - k) = 0
    Ja niin saamme seuraavat kaksi tekijää:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Lyijykynä
  • paperi
  • Toisen asteen yhtälö (tai neliömäinen yhtälö)
  • Graafinen laskin (valinnainen)